Phys

$\textbf{Пуассоновский процесс}$ - случайный процесс, описывающий моменты наступления $\ 0\ <\ t_1\ <...<\ t_n\ <...$ каких-либо случайных событий, в котором число событий, происходящих в течение любого фиксированного интервала времени, имеет распределение Пуассона и независимы.

Математический бильярд

Бильярд — динамическая система, отвечающая свободному движению материальной точки (бильярдного шара) внутри области площадью $\Omega$ с кусочно-гладкой границей. При достижении границы частица упруго отражается от нее.

Если в бильярде есть рассеивающая поверхность, то в нем устанавливается хаотическое движение. Если скорость постоянная $v$, то распределение в фазовом пространстве для двух координат и направления скорости равномерное \[ w(x, y, \phi) = \frac{1}{2\pi\Omega}, \] где $\Omega$ - площадь бильярда.

Вероятность столкновения с участком границы длины $L$ в единицу времени \[p(L) = \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\phi \int\limits_{L} dl w(x, y, \phi) v \cos{\phi} = \frac{Lv}{\pi\Omega}\]

Время пробега между соударениями $p^{-1}$. Длина свободного пробега \[\lambda = v p^{-1}(P) = \frac{\pi\Omega}{P}\]

Распределение вероятностей для углов падения не зависит от формы границы \[w(\phi) = \frac{1}{2}\cos{\phi} \]

Импульсный процесс столкновений со стенкой

Столкновение частицы со стенкой можно представить как импульсный случайный процесс с положительными $\delta$ - импульсами $\eta(t) = \sum \limits_{p}f_0(t-t_p)$, проходящими в момент времени $t_p$ и имеющими амплитуду $f_0$, независимыми одинаково распределёнными интервалами между импульсами $\vartheta_p = t_p - t_{p-1}$.

Основные характеристики: среднее время между столкновением со стенкой $m_1 = T = \lambda / v = \langle \vartheta \rangle$ и дисперсия $\sigma_{\vartheta}^{2}$. Причём, $T$ всегда определяется площадью и длиной стенки. А дисперсия $\sigma_{\vartheta}^{2}$ может сильно зависеть от формы бильярда и выбора стенки. Меняя конфигурацию бильярда, можно получать суб-пуассоновскую (квазипериодическую) статистику импульсов, когда $\sigma_{\vartheta}^{2} < T$, или супер-пуассоновскую когда $\sigma_{\vartheta}^{2} > T$, соответственно.

$$Предполагается \; использование \; в \; полноэкранном \; режиме(клавиша \; для \; перехода - F11)$$

Наглядный материал.

$\bbox[yellow]{Copyright\ (c)\ 2019.\ Markov\ Vladislav,\ Pavel\ Shvets,\ Anna\ Balakova.}$

$\textbf{Данная презентация моделирует математический бильярд с произвольной линейной стенкой.}$

$\bbox[yellow]{Авторы\ не\ несут\ ответственности\ за\ психическое\ состояние\ пользователя\ в\ силу\ MIT\ License.}$

На начальном экране пользователю предполагается выбрать некоторый пункт из меню. Кнопка $\textbf{«THEORY»}$ позволяет ознакомится с физическими основами рассматриваемого процесса. Кнопка $\textbf{«DESCRIPTION»}$ служит справкой презентации. Кнопка $\textbf{«START»}$ переводит пользователя в меню с опциями $\textbf{«LARGE FONT»}$ и $\textbf{«SMALL FONT»}$ для выбора большого или маленького шрифтов соответственно.

После выбора шрифта пользователю предлагают выбрать режим работы $\textbf{«JUST FOR FUN»}$ или $\textbf{«ADVANCED USER»}$. Первый соответствует режиму $\textbf{«plug-and-play»}$ и не требует дополнительной настройки. Другой же предоставляет более обширный функционал.

На следующем этапе пользователю предлагается по точкам выбрать форму бильярда. На холсте изображена подсказка: если рисовать фигуру по часовой стрелке, то частицы будут находится внутри выбранной области, если рисовать фигуру против часовой стрелки, то частицы будут вылетать из выбранной области. Чтобы нарисовать данную область следует нажать кнопку $\textbf{«DRAW»}$. Если пользователь хочет выбрать другую форму бильярда, то нужно нажать на $\textbf{«CLEAR»}$ и перерисовать область.

В $\textbf{«PARTICLE CONFIG»}$ пользователю предлагают изменять характеристики частиц: $\textbf{«VELOCITY»}$, $\textbf{«AMOUNT»}$, $\textbf{«SIZE»}$ то есть скорость, общее число частиц и их размер соответственно. Чтобы выйти из меню следует нажать $\textbf{«CLOSE»}$.

Опция $\textbf{«BOUNDS CONFIG»}$ предлагает функционал для некоторых изменений формы бильярда: выбор предопределнной формы (звезда, телевизор или крест) и вставка излучателя $\textbf{«PLACE SCATTERER»}$ (если требуется убрать излучатель, то следует ещё раз нажать на $\textbf{«PLACE SCATTERER»}$) и изменение его размера.

Статистические данные представленны показателями: $\textbf{«MEAN»}$ - матожидание, $\textbf{«STD»}$ - стандартное отклонение времени соударения частиц с выбранной стенкой, гистограмма распределения времени соударений(по оси ординат время соударений в секундах, по оси абсцисс количество частиц). Также показатель наблюдаемой статистики: "sub-poissonian" - суб-пуассоновская или "super-poissonian" - супер-пуассоновская. Для того, чтобы статистика начала считаться с текущего момента воспользуйтесь $\textbf{«RECOUNT STATS»}$).

Нажав на стрелку над статистическими показателями, можно наблюдать импульсы частиц, ударившихся с выделенными стенками за последние 5 секунд. Реализация программы учитывает последние 1000 соударений, что достаточно в силу закона больших чисел.