Эксперимент: время хаотизации частиц в математическом бильярде в зависимости от кривизны стенки.

Основная задача: проиллюстрировать время хаотизации разными способами и выяснить его зависимость от параметров бильярда.

Скачать демонстрацию.

В двухмерном бильярде, с тремя прямыми стенками и одной выпуклой или вогнутой, свободно движутся частицы. Вид стенки задается пользователем как радиус кривизны (положительный или отрицательный) .

Режим одной пары частиц. Две частицы начинают движение на очень малом расстоянии друг от друга в одном и том же направлении. При этом вычерчивается отрезок, соединяющий их. При столкновении с криволинейной стенкой траектории начинают разбегаться (сбегаться). Одновременно на графике строится расстояние между частицами как функция времени. Это расстояние сначала растет, потом начинает флуктуировать около некоторого постоянного значения. На другом графике строится гистограмма, показывающая для различных расстояний, сколько времени частицы были на этом расстоянии. Она нормирована на единицу. Сначала она состоит из отдельных столбиков около малых значений расстояний, потом превращается в стационарное распределение. Момент установления этого распределения примерно совпадает с моментом выхода на флуктуирующий режим графика временной зависимости для расстояния. Это и будет время хаотизации системы. Оно должно быть тем больше, чем больше радиус кривизны стенки для положительных радиусов (выпуклых внутрь стенок), а для отрицательных радиусов кривизны картина сложнее.

Режим многих пар частиц. Число пар задается пользователем. Сразу много пар частиц, окрашенных в разные цвета, разлетаются из близко расположенных точек. График временной зависимости и гистограмма строятся для средних значений расстояний между частицами в парах.

Стенка, противоположная искривленной, движение с разными скоростями. может совершат периодическое Это движение стенки уменьшает время хаотизации системы. Программа позволяет наглядно разъяснять основные понятия теории динамического перемешивание, время корреляции. хаоса. Такие как показатель Ляпунова,